Урок №3 — Признаки делимости на простые числа.

Признаки делимости дают возможность легко и без сложных вычислений определить можно ли разделить текущее число на какое либо другое число.

В рамках данной статьи будут рассмотрены признаки делимости на простые числа в рамках первого десятка.

Признак делимости на 2

Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2, без остатка, либо была 0.

Пример:

• 126, делится на два, так как последняя цифра числа 6, а 6 делится на два.
• 2990, делится на два, так как последняя цифра числа 0.
• 315, не делится на два, так как последняя цифра числа 5, а 5 не делится на два на цело.

Признак делимости на 3

Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Пример:

• 111, делится на три, так как сумма цифр будет $1+1+1=3$ , а 3 делится на 3
• 483, делится на три, так как сумма цифр будет $4+8+3=15$ , $1+5=6$ , а 6 делится на 3. Обратите внимание, что при сумме цифр мы получили 15, может получиться и большее число, и далее мы снова можем сложить цифры числа, и так до получения единичного числа. А проверить делимость можно именно на однозначном числе.
• 1237, не делится на три, так как сумма цифр будет $1+2+3+7=13$ , $1+3=4$ , 4 не делится на 3.

Признаки делимости на 5

Для того чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5, то есть цифра единиц числа должна быть либо 0, либо 5.

Пример:

• 150, делится на пять, так как последняя цифра числа 0.
• 1365, делится на пять, так как последняя цифра числа 5.
• 426, не делится на пять, так как последняя цифра числа 6.

Признак делимости на 7

В данном признаке удобно использовать два немного отличных друг от друга подхода, один для чисел менее 1000, а второй для чисел более 1000.

Для чисел менее 1000:

Для того чтобы натуральное число делилось на 7, необходимо и достаточно, чтобы разность десятков числа и удвоенных единиц делилось на 7.

Пример:

• 679, делится на семь, (67 — это десятки числа, а 9 — единицы числа) $67-9\cdot 2=49$ , а 49 делится на 7.
• 994, делится на семь, (99 — это десятки числа, а 4 — единицы числа) $99-4\cdot 2=91$ , а 91 делится на 7 (будет 13). Это максимально большое число которое делится на 7 в пределах тысячи. Для использования правила признак делимости на 7 достаточно выучить таблицу умножения на 7 до 13 включительно.
• 823, не делится на семь, (82 — это десятки числа, а 3 — единицы числа) $82-3\cdot 2=76$ , а 76 не делится на 7 (будет $10\frac{6}{7}$ ), то есть на цело разделить нельзя.

Для чисел более 1000:

Для того чтобы натуральное число делилось на 7, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры в грани, начиная с цифры единиц, взятых со знаком плюс для нечётных граней и со знаком минус для чётных граней, делилась на 7.

Пример:

• 2905, делится на семь, разобьем число на грани, отсчитываем три цифры начиная от единиц (последней цифры включительно) и ставим полоску (границу граней) и получим: 2|905. Далее первая грань с права имеет положительный знак, всегда, и далее грани меняют знаки в шахматном порядке. Получим следующее выражение $905-2=903$ . Проверим делимость числа 903 по правилу делимости на 7 при числе менее тысячи. 903, делится на семь, так как $90-3\cdot 2=84$ , 84 делится на 7 (будет 12).
• 254390815, делится на семь, разобьем число на грани: 254|390|815. Поставим знаки граней, начиная с правой (плюс) и далее в шахматном порядке: $815-390+254=679$ , а 679 делится на семь, такой пример мы уже рассматривали.
• 13812, не делится на семь, разобьем число на грани: 13|812. Поставим знаки граней: $812-13=799$ . Проверим делимость числа 799 — не делится на 7, так как $79-9\cdot 2=61$ , а 61 на семь не делится.

Перейти к предыдущему уроку: Урок №2 — Простые и составные числа.

Перейти к следующему уроку: Урок №4 — Разложение составного числа на простые множители .