Урок №5 - Нахождение НОК и НОД. Взаимно простые числа.

НОД — Наибольший Общий Делитель.

Общим делителем нескольких чисел называется число, на которое делится каждое из них. Для любых чисел общим делителем является единица, то есть общий делитель всегда существует.

Нахождение НОД:

1. Каждое из данных чисел разложить на простые множители.
2. Обводим в правых столбцах множители которые являются общими для всех чисел.
3. Выписать обведенные множители с любого из столбцов.
4. Найти произведение выписанных чисел — оно и будет являться НОД чисел.

Пример: НОД (24; 60)

Разложим числа 24 и 60 на множители, для определения на какое число можно разделить пользуемся признаками делимости на простые числа:

Обведём общие множители, в рамках урока выделим красным и сделаем шрифт более жирным, то есть те которые попадаются в обоих столбцах, общими будут две двойки и тройка.

Далее выписываем обведённые, выделенные, множители: 2; 2; 3, и находим их произведение $2\cdot 2\cdot 3=12$.

Ответ: НОД (24; 60) = 12.

Пример: НОД (189; 1764)

Разложим 189 и 1764 на множители:

Обводим общие множители, выделяем в рамках урока красным и жирным:

Выписываем обведённые, выделенные, множители: 3; 3; 7, и находим их произведение $3\cdot 3\cdot 7=63$.

Ответ НОД (189; 1764) = 63

Пример: НОД (126; 540; 630)

Разложим все три числа на множители:

Обводим общие множители, в рамках урока выделим:

Выписываем общие множители: 2; 3; 3, и находим их произведение $2\cdot 3\cdot 3=18$.

Ответ НОД (126; 540; 630) = 18

НОК — Наименьшее Общее Кратное.

Общим кратным нескольких чисел называется число, делящееся на каждое из них. Для любых чисел общим кратным является их произведение. Общих кратных бесконечно много. Умножая любое общее кратное последовательно на натуральные числа в порядке возрастания, мы снова получим число, кратное данных чисел. Всегда существует наименьшее общее кратное.

Нахождение НОК:

1. Каждое из данных числе разложить на простые множители.
2. Обводим в правых столбцах множители которые являются общими для всех чисел.
3. Выписать любое, принято наибольшее, из начальных чисел, и умножаем его на не обведённые множители второго числа, в рамках урока выделим их зелёным.

Пример: НОК (24; 60)

Разложить числа 24 и 60 на простые множители и обвести общие множители, как делали это при нахождении НОД:

Затем в меньшем из чисел, 24, выделяем зелёным не общие множители, не выделенную красным двойку.

И найдём НОК (24; 60) = 60 ⋅ 2 = 120 , наибольшее из чисел 24 и 60 умножаем на не общий множитель. 120 это наименьшее число которое можно разделить на 24 и на 60.

Ответ НОК (24; 60) = 120.

Пример: НОК (189; 1764)

Разложить числа 189 и 1764 на простые множители и обвести общие:

В меньшем из чисел, 189, выделяем зелёным не общие множители, не выделенную красным тройку.

И найдём НОК (189; 1764) = $1764\cdot 3=5292$ .

Ответ НОК (189;1764) = 5292

Пример: НОК (270; 300; 315)

Разложить числа 270, 300 и 315 на простые множители и обвести общие в трёх столбцах, и так же выделить отдельно общие множители в столбцах на 270, 300 и 315 которые встречаются только в любых двух столбцах - оранжевым:

Для нахождение НОК (270; 300; 315) берем наибольшее число, 315 и умножаем его на общий множитель 270, 300 и 315 (выделенные оранжевым), далее умножаем на все не общие множители которые остались в столбцах 270 (кроме оранжевой тройки, так как она уже есть в 315) и 300. Получаем $315\cdot \mathrm{<mark\; class="orange">2</mark>}\cdot 3\cdot 2\cdot 5=18900$

Перейти к предыдущему уроку:Урок №4 - Разложение составного числа на простые множители.

Перейти к следующему уроку: Урок №6 — Простые дроби. Свойство простых дробей.